Александр Болдачёв родился в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) в семье профессора консерватории Ирины Шараповой и философа Александра Болдачёва. Начал обучение игре на фортепиано в 4 года, а в 5 лет — на арфе. Начальное музыкальное образование получил в музыкальном лицее при Санкт-Петербургской консерватории по классу арфы и композиции. Выпускник Цюрихской высшей школы музыки.
Концертную деятельность начал в 5-летнем возрасте, тогда же сочинил первые музыкальные произведения. Специально для 6-летнего арфиста композитор Сергей Слонимский написал «Рождественские звоны», которые юный музыкант исполнил на фестивале в Санкт-Петербурге. В 8 лет Александр Болдачёв дебютировал с оркестром Литвы.
Александр — лауреат более десяти международных арфовых и композиторских конкурсов, обладатель наград в области культуры. Композиторская деятельность Александра сконцентрирована на расширении арфового репертуара как собственными произведениями, так и переложениями для арфы. В дискографии Александра несколько сольных и камерных альбомов, среди которых «Арфа как оркестр» (2014) и «Из России с арфой» (2015).
Александр ведёт активную концертную деятельность, выступает с крупнейшими оркестрами мира.