Леонард Эльшенбройк родился во Франкфурте-на-Майне. В десятилетнем возрасте получил стипендию для обучения в школе Иегуди Менухина в Лондоне, где и начал своё профессиональное становление, а затем продолжил обучение в Кёльнской музыкальной академии.
Профессиональную карьеру начал как виолончелист. Дебютировал в венском Музикферайне с Дрезденской государственной капеллой, позднее выступал с Чикагским симфоническим оркестром в США. Многократное участие в BBC Proms в Royal Albert Hall подтвердило его статус артиста международного уровня.
Особое место в творчестве Эльшенбройка занимает камерное музицирование. В составе фортепианного трио с Николой Бенедетти и Алексеем Грюнюком Леонард гастролировал по Северной Америке. Записал полные циклы сонат Бетховена и Брамса.
Репертуар виолончелиста охватывает музыку Баха, Бетховена, Брамса, а также произведения XX–XXI веков. «Виолончель — это голос, способный говорить на всех языках музыки, от барокко до авангарда», — отмечает музыкант в интервью The Strad. Этот принцип отражает его подход к выбору репертуара.
Среди профессиональных достижений музыканта — получение Премии Леонарда Бернстайна в 2009 году и звания BBC New Generation Artist в 2012 году.
Эльшенбройк играет на виолончели работы венецианского мастера Маттео Гоффрилера 1693 года. Инструмент обладает богатым тембром и исторической ценностью, что позволяет музыканту раскрывать тончайшие нюансы исполняемых произведений.