Анатолий Николаевич Александров родился в музыкальной семье. Его мать была пианисткой, она дала ему первые уроки игры на фортепиано. В годы детства семья часто переезжала и с 1906 года стала снова жить в Москве. Тогда мать Александрова решила найти для своего сына учителя. После встречи с Сергеем Танеевым он стал заниматься сначала с учеником Танеева Николаем Жиляевым, а затем с самим Танеевым.
В 1910 году Александров поступил в Московскую консерваторию, где учился игре на фортепиано под руководством Константина Игумнова (до 1915 года) и композицию под руководством Сергея Василенко. В 1916 году Анатолий Александров с золотой медалью окончил консерваторию, в которой вскоре стал преподавать.
Анатолий Александров — автор опер «Два мира», «Бэла», «Дикая Бара», «Левша», 14 сонат для фортепиано, струнных квартетов, вокальной сюиты «Верность», романсов.