Готье Капюсон родился в Шамбери (Франция). Начал играть на виолончели в 4 года, окончил Парижскую консерваторию в классе Филиппа Мюллера. Позже совершенствовал мастерство в Вене у Хайнриха Шиффа.
Победа на конкурсе имени Андре Наварра в 1999 году принесла ему международное признание. С тех пор Готье выступает с ведущими оркестрами: Берлинским и Венским филармоническими, оркестром Консертгебау. Сотрудничал с дирижёрами Валерием Гергиевым, Густаво Дудамелем.
Записал все виолончельные концерты Шостаковича с оркестром Мариинского театра. Регулярно исполняет камерную музыку с Мартой Аргерих и своим братом Рено Капюсоном.
С 2014 года преподаёт в Фонде Louis Vuitton. В 2022 году основал собственный фонд поддержки молодых музыкантов. Играет на виолончели Маттео Гоффрилера 1701 года.
«Виолончель ближе всего к человеческому голосу», — отмечает Капюсон. Этот принцип отражается в его альбомах «Emotions» и «Sensations», получивших золотой статус во Франции.