Эйххорн Курт обучался музыке в консерватории в немецком городе Вюрцбурге. Его дебют в качестве дирижера и хорового дирижера состоялся в 1932 году в Билефельде. Также он работал дирижером в Теплиц-Шенау и Карлсбаде.
С 1945 года он руководил Мюнхенским филармоническим оркестром, Баварской народной оперой и Дрезденским филармоническим оркестром; преподавал дирижирование в Мюнхенской музыкальной академии.
С 1956 по 1967 год Эйххорн Курт был главным дирижером Государственного театра Gartnerplatz в Мюнхене. С 1967 по 1975 год он был главным дирижером Оркестра мюнхенского радио.
Также Эйххорн Курт был назначен почетным дирижером Брукнеровского оркестра в Линце, с которым он начал записывать цикл симфоний Антона Брукнера. Однако этот проект был оборван преждевременной смертью маэстро и остался незавершенным.
Среди прочего Эйххорн Курт был отмечен за сделанные им записи музыки Карла Орфа. В 1991 году Bruckner Association наградили его почетной золотой брошью.