Вадим Козин родился 21 марта (3 апреля) 1903 года в Санкт-Петербурге, в семье петербургского купца первой гильдии Алексея Козина и цыганки из хоровой династии Ильинских-Санкиных Веры Ильинской.
Артистическую карьеру Козин начал тапёром, озвучивая немые кинофильмы. Потом начал петь. Выступать начал с середины 20-х годов, пел в комическом хоре Чарова, в сборных концертах в кинотеатрах «Гигант», «Капитолий», «Колосс». Свои сольные выступления он начал, исполняя известные романсы «Калитка», «Утро туманное», «Мой костер», и вскоре приобрел большую популярность. Певца часто приглашали выступать вместе с малоизвестными в то время в нашей стране зарубежными исполнителями Кларой Юнг, Полем Робсоном и др. Участие Козина обеспечивало этим концертам неизменный коммерческий успех.
В конце 30-х годов включает в свой репертуар несколько произведений советских композиторов: «Шел отряд» А. Волкова, «Ковыль» С. Заславского и др. Много гастролировал по городам России, выступая в сопровождении известных аккомпаниаторов — Давида Ашкенази, Аркадия Покрасса, Михаила Дулова. Был членом художественного совета треста, занимающегося выпуском пластинок.
В годы Великой Отечественной войны выступал с концертами в частях действующей армии. По распоряжению наркома путей сообщения, певцу выделили специальный вагон для поездок. Пластинки с записями Козина попадали в особую категорию (не подлежат сдаче на переплавку).
В 1941 он представил новую программу, в которую вошла написанная им песня «Москва» («Нет, моя Москва не будет взята ими…»). В начале декабря 1943 вместе с Марлен Дитрих, Морисом Шевалье и Изой Кремер выступал в концерте, организованном для участников Тегеранской конференции. Награжден орденом Красной Звезды.
В феврале 1945 года Вадима Козина арестовали и приговарили к восьми годам лишения свободы. Освобожден досрочно в 1950 г. за примерное поведение и хорошую работу. В справке, выданной певцу управлением лагерей, запись в графе «по какой статье осужден» отсутствует.
В конце 50-х годов Козин возобновил гастрольные поездки по стране. Он написал новые песни на стихи советских поэтов: «Люди, остановите смерть!» (Л. Ошанин), «Моя Россия» (Н. Браун), «Я ненавижу в людях ложь!», «Не бередите ран» (А. Дементьев).
За свою жизнь Вадим Козин создал около 300 песен. Одна из самых известных — танго «Осень» («Осень, прозрачное утро…») — была написана в 1939 в рамках мини-цикла «Времена года». Использована в кинофильмах «Военно-полевой роман» и «Приступить к ликвидации». Практически до последних дней певец выступал в Магаданском музыкально-драматическом театре. Его репертуар насчитывал свыше 3000 песен. Грампласттрест выпустил более 50 пластинок Козина, однако до середины 80-х годов их переиздание в СССР было официально запрещено. В 1985 на фирме «Мелодия» выпущен первый диск-гигант, в который вошли многие известные песни: «Осень», «Прощай, мой табор», «Дружба», «Маша».
Скончался Вадим Алексеевич 19 декабря 1994 года в Магадане.