Елена Заремба родилась в Москве. Когда ей исполнилось 2 года, родители переехали в Новосибирск, где Елена окончила школу и снова отправилась в Москву. Она поступила в музыкальное училище им. Гнесиных на эстрадно-джазовое отделение, а после окончания — в Российскую академию музыки им. Гнесиных на вокальное отделение. Будучи студенткой 5 курса, стала солисткой Государственного Академического Большого театра, где ее первой ролью стала Лаура в опере Даргомыжского «Каменный гость».
С 1992 года выступает в крупнейших театрах мира: Ковент-Гарден, Ла-Скала, Метрополитен-опера, Гамбургская государственная опера, Опера Бастиль, Опера Бильбао, Баварская государственная опера и др. В репертуаре певицы ведущие партии в операх Верди, Вагнера, Сен-Санса, Мусоргского, Чайковского, Бизе и др. Партию Кармен Елена Заремба исполнила на сцене свыше 250 раз.
Елена Заремба работает с выдающимися мировыми дирижерами К.Аббадо, Дж. Ливайном, В.Федосеевым, В.Юровским, Ф.Хайнцем, П. Шнайдером, ее партнерами по выступлениям неоднократно были Лучано Паваротти, Хосе Каррерас, Пласидо Доминго, Дмитрий Хворостовский, Катя Риччарелли, Анна Нетребко, Андреа Бочелли, Рамон Варгас и др.