Борис Штоколов родился 19 марта 1930 года в городе Кузнецке Кемеровской области. Уже в раннем детстве у него проявился хороший голос. Он успешно выдержал прослушивание в Киевской детской капелле, которая находилась в эвакуации в Свердловске, однако из-за болезни занятия пришлось прекратить.
Осенью 1944 года Борис из-за голода после 5-го класса бросил школу и уехал на Соловецкие острова, где находилась школа юнг Северного флота. Певческий талант Штоколова пригодился и здесь. Помимо выполнения служебных обязанностей он стал запевалой роты. В 1945 году после сдачи экзаменов Борис попал на Балтику, и его направили служить на эсминец «Строгий». Эсминец совместно с другими кораблями и крейсером «Киров» участвовал в первом послевоенном параде на Неве в 1945 году. Принимал в нем участие и Штоколов.
Осенью 1948 года молодого певца принимают на вечернее отделение Уральской консерватории, вокальный факультет. Одновременно он сдает экзамены за 10 класс.
По распределению Штоколов попадает в Серпуховское училище ВВС, но вскоре туда приходит приказ маршала Жукова: «Курсанта Штоколова Б.Т. направить на дневное отделение консерватории».
Талантливого студента замечают. Вскоре он становится солистом Свердловской филармонии и дебютирует на сцене Свердловского театра оперы и балета, где проработает 8 лет. Летом 1955 года на гастролях в Кисловодске Штоколов впервые поет арию Мефистофеля. В том же году исполняет партию Гремина. Репертуар певца постоянно расширяется, в него входят партии Сусанина, Дона Базилио, Бориса Годунова.
В 1959 году Штоколов получает приглашение от одного из лучших оперных театров страны — Театра оперы и балета имени Кирова в Ленинграде. Там знаменитый бас проработает больше тридцати лет. Параллельно с выступлениями на оперной сцене Штоколов будет давать много концертов.
Борис Штоколов скончался 6 января 2005 года в Петербурге. Похоронен на Литераторских мостках Волковского кладбища.
