Александр Степанович рос в певческой семье в Рязани на острове под названием Медвежья голова. В детстве мальчик вовсе не проявил способностей к пению. Голос у Пирогова обнаружился только в 16 лет. Его первым наставником стал старший брат Григорий.
Александр Пирогов учился одновременно на историко-филологическом факультете Московского университета и в Музыкально-драматическом училище Московского филармонического общества (позднее — ГИТИС).
Талант певца раскрылся полностью во время работы в Большом театре. На этой сцене Александр Степанович выступил 1100 раз, спел весь основной классический русский и зарубежный басовый репертуар, подготовил несколько ролей в новых советских операх. Вершиной творчества певца считается образ Бориса Годунова в одноимённой опере Мусоргского. В главном театре страны Александр Степанович Пирогов проработал более тридцати лет, его дважды награждали Сталинскими премиями, одну из которых в 1943 году он полностью передал в Фонд Обороны.
Пирогов выступал также как камерный певец. И здесь репертуар его был огромен. В первую очередь, это песни Мусоргского, романсы Даргомыжского, Бородина, Чайковского, Рахманинова, народные песни. Артист много концертировал по стране, а также гастролировал в Италии, Австрии, Финляндии, Югославии и Турции. Во время поездок он всегда скучал по родным местам и говорил: «Я хотел бы умереть или на сцене, или на Оке». Так и произошло. Пирогов скончался в рыбачьем домике на берегу родной реки.